Задать вопрос:





Статьи

Статьи>> Расчёт вероятности безотказой работы машины и её элементов

Расчёт вероятности безотказой работы машины и её элементов

Стадия испытания без доработок

Испытания без доработок проводят, как правило, в одинаковых условиях и без изменений испытываемых объектов. Поэтому оцениваемая надежность остается неизменной, а результаты экспериментов можно считать независимыми. В этих условиях могут быть применены традиционные методы статистического оценивания по выборочным данным параметров нормального, биноминального и экспоненциального законов распределения, используемых в подавляющем большинстве расчетов надежности.
Для этой цели используем известные в литературе результаты [9].

1. Оценивание параметров нормального распределения

При расчетах параметрической составляющей безотказности полагают, что она в течение заданного времени обеспечивается при условии, что определяющий параметр X(t) лежит в установленных пределах (x1, x2) в течение всего времени t < Т, т.е.

Р(Т) = Bep(x1 <. X(t) 2 при t < Т).

Случайную функцию X(i) рассматривают как случайную величину Х в каком-то характерном сечении процесса.
При нормальном распределении X имеем

где Ф(х) - функция нормального распределения; mх и σх - математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение величины X.
Эффективные, состоятельные и несмещенные оценки mх и σх определяются зависимостями:



или


где xi- наблюдаемые в каждом из п независимых опытов значения величины X. Если x1х, то

так как Ф(-х) =1- Ф(х).
Если Р(Т) = вер(х < x2), то в тех же условиях

Если Р(Т) = вер(х>x2), то

Случайная оценка математического ожидания mх нормально распределенной величины X при известной дисперсии σ2х распределена нормально с математическим ожиданием mх и средним квадратическим отклонением

Поэтому двусторонний доверительный интервал оценки с коэффициентом доверия (доверительной вероятностью) у определяется зависимостью

где U(1+y)/2 квантиль нормального распределения.
Односторонний нижний (верхний) доверительный предел оценки mх с коэффициентом доверия у:

Когда оценку математического ожидания mх определяют при неизвестной дисперсии σ2х исходного нормального распределения величины X, для расчета доверительных границ оценки mх при коэффициенте доверия у используется неравенство

где σm = σх /√n; К1 = п-1; К1число степеней свободы; п - объем выборки случайной величины X; tk-квантиль распределения Стьюдента.
Для определения доверительных границ оценки σх может быть использовано распределение X 2 (хи-квадрат) с К1 = п степенями свободы, когда вместо mх
Двусторонний доверительный интервал σх с коэффициентом доверия у:


где X 2(1+y)/2-квантиль X 2 распределения.
При решении практических задач надежности часто нужно сделать заключение о точности расчета оценок p вероятности безотказной работы по формулам (4)...(6):

Для оценки Р существуют толерантные пределы, характеризующие вероятность попадания на них определенной доли распределения. Эти пределы вычисляются в виде

и показывают, что с вероятностью у по крайней мере α-я часть распределения будет сосредоточена в интервале (13а). К(у, а, п) - толерантный множитель;

где U(1+y)/2 и Uy-квантиль нормального распределения

2. Вероятность безотказной работы при
биномиальном распределении отказов

Несмещенная, эффективная и состоятельная оценка вероятности безотказной работы по результатам п независимых испытаний, заканчивающихся успехом или отказом (биномиальный план), имеет вид

где m - оценка числа отказов в п испытаниях.
Среднее квадратическое отклонение Р:

где Р — истинное значение вероятности безотказной работы.
Односторонний нижний доверительный предел Pн оценки P при коэффициенте доверия у можно найти из уравнения

или с использованием номограмм [10] для у = 0,5...0,9. При отсутствии отказов при испытаниях


3. Вероятность безотказной работы при
экспоненциальном распределении отказов

Вероятность безотказной работы в этом случае характеризуется зависимостью

Для получения оценки Р(Т) нужно иметь оценку параметра λ.
А. Оценка λ зависит от принятого статистического плана испытаний, включающего условия испытания каждого образца и всей серии изделий, а также условия замены отказавших образцов.
Различают следующие основные статистические планы независимых испытаний серии из п элементов:
• с заменой (восстановлением) отказавших элементов и прекращением испытаний в заданный момент Т: план [п, В, Т];
•с заменой отказавших элементов и прекращением испытаний после отказа заданного числа т элементов: план [п, В, r];
•без замены отказавших элементов и с прекращением испытаний после отказа заданного числа г элементов: план [п, Б, r];
•без замены отказавших элементов и с прекращением испытаний в момент Т. план [п, Б, Т].

Кроме того, применяют биномиальный и различные комбинированные планы, в которых для каждой группы элементов в серии могут назначаться свои условия окончания эксперимента.
Для плана [п, В, T] несмещенная оценка максимального правдоподобия:

где m(T) - число отказавших за время (0;T) элементов из числа п, поставленных на испытания. Среднее квадратическое отклонение λ

Односторонний верхний доверительный предел λ с коэффициентом доверия у:


где a1-γ(m) - квантиль распределения Пуассона; m -оценка числа зафиксированных отказов.
Для плана [п, В, r] несмещенная оценка параметра λ:

где tr- оценка времени наступления заданного r-го отказа.
Среднее квадратическое отклонение λ при r> 2:

а односторонний верхний доверительный предел

Для плана [п, Б, r] несмещенная оценка параметра λ:

где SБ(tr) - суммарная наработка п элементов до заданного r-го отказа;

где ti. - оценка времени наработки i-го отказавшего элемента.
Среднее квадратическое отклонение параметра λ определяется по формуле (23), а односторонний верхний доверительный предел с коэффициентом доверия у - по зависимости

Для плана [п, Б, Т] имеем:
1) смещенную оценку максимального правдоподобия параметра λ:

где m(T) - оценка числа отказов, наблюдаемых за заданное время Т; SБ(Т) - оценка суммарной наработки n элементов за время Т:

ti - оценка наработки в i-м испытании, закончившемся отказом;
2) несмещенную оценку параметра λ:

Среднее квадратическое отклонение оценки максимального правдоподобия λ1,:

Односторонний верхний доверительный предел λ1с коэффициентом доверия Υ:

где Рн(у, п, m )- односторонний нижний доверительный предел оценки вероятности безотказной работы при биномиальном плане [10].
При проведении испытаний по плану [п, Б, Т] изделий, имеющих экспоненциальный закон распределения отказов, часто возникает ситуация, когда группа изделий из выборки объемом п в течение времени tg< Т (g= 1, 2,...,n1) работает безотказно, т.е. имеют место и неполные испытания. Такая ситуация возникает из-за того, что при отказе одних элементов невозможна работа других элементов изделия, хотя они остаются безотказными.
Таким образом, в подобной ситуации после проведения (n + n1) испытаний статистическая информация может быть представлена тремя группами данных: m(Т) отказов в фиксированные моменты времени t1< Т в ходе п испытаний; n1 неполных испытаний, в которых изделия работают без отказа до моментов tg< Т; (п - т) успешных испытаний при работе до момента Т.
Несмещенную оценку параметра λ при плане [п, Б, Т ] и наличии неполных испытаний определяют по формуле

где Δn - число дополнительных полных испытаний до времени Т, эквивалентных n1 неполным испытаниям. Выражение (33) при Δn = О совпадает с (30). Для Δn имеем выражение

Коэффициент η представляет собой отношение средней вероятности отказа на интервале (0;tg) к вероятности отказа на интервале (0; T).
Если λT<<1 и λtg<< 1,то е -λT = 1-λT и e λtg = 1-λtg; тогда выражение (34) упрощается:


где

Односторонний верхний доверительный предел оценки λ приближенно рассчитывают по формуле (32), принимая общее число испытаний, по которому находят величину Рн, равным п + Δn
Приближенное значение среднего квадратического отклонения оценки X определяют по (31).
Б. Далее приведены оценки вероятности безотказной работы и их доверительных интервалов при экспоненциальном законе распределения отказов и различных планах испытаний.
В общем случае имеет место нелинейная функция, связывающая оценки λ и P,

Для плана [п, Б, T] несмещенная оценка P имеет вид:

где Р - истинное значение вероятности безотказной работы; К (Z) - цилиндрическая функция мнимого аргумента [11].
Зная односторонний верхний доверительный предел оценки λ определенный с коэффициентом доверия Υ, можно найти точный односторонний нижний доверительный предел оценки Р с той же доверительной вероятностью у по формулам

Так, для плана [n,B,T]

или

Для плана [n,B,r]

или

Для плана [n,Б,r]

или

для плана [n, Б, Т] величину РH определяют по формуле (16) и с использованием номограмм [12] для РH(y, n ,m).
Далее приведены формулы для приближенных расчетов точности оценивания вероятности безотказной работы с использованием средних квадратических отклонений при различных планах испытаний.
Для плана [n, В, Т]

Далее приведены формулы расчета оценок надежности (вероятности безотказной работы) системы, включающей конечное число (i = 1, 2, .., k) последовательно соединенных элементов, т.е. когда каждый отказ элемента ведет к отказу системы.
Когда отказы элементов возникают независимо, оценка вероятности безотказной работы системы имеет вид:

где Рi -оценка вероятности безотказной работы i-го элемента системы.
Среднее квадратическое отклонение оценки Р определяется выражением

где σpi -среднее квадратическое отклонение оценки Рi.
Если величины Рi весьма близки к единицы, то

Двусторонний доверительный интервал оценки вероятности безотказной работы системы с коэффициентом доверия Υ

или односторонний нижний доверительный предел

где Ua- квантиль нормального распределения.
Формулы (49) и (50) справедливы при условиях закона распределения Р, близкого к нормальному, и точно известной дисперсии σ2p
При испытании k элементов рассматриваемой системы по плану [n, Б, T] (i= I, 2, ..., k) и при отсутствии отказов во всех этих испытаниях односторонний нижний доверительный предел оценки вероятности безотказной работы системы с коэффициентом доверия γ определяется зависимостью

где (ni )min , (1≤ i ≤k)-минимальное число испытаний среди всех ni.
Если каждый элемент системы испытывался по плану [ni,Б,Т] и при этом наблюдалось mi отказов в каждом из ni испытаний, но надежность элементов достаточно высока и все ni>20, то односторонний нижний доверительный предел оценки вероятности безотказной работы системы с коэффициентом доверия γ:

где m=∑mi-общее число отказов всех элементов;
а α (r)-квантиль распределения Пуассона.

Если число отказов велико (и становится грубым предположение о том, что их появление подчиняется закону редких событий Пуассона), то для определения величины РH используется нормальное распределение

где Uy квантиль нормального распределения.
В случае когда надежность каждого элемента, образующего систему (последовательная цепь), определялась по плану [ni, Б, ri ] и известны их наработки
SБ(tr
), то односторонний нижний доверительный предел оценки вероятности безотказной работы системы за время Т с коэффициентом доверия у подчиняется зависимости


где r= ∑ri ; [SБ(tr)]min - минимальная наработка среди всех k элементов,1x21-y(2r) -квантиль х распределения с 2r степенями свободы.
Если число отказов r велико, то для расчета РН(Т) используется зависимость


как и для плана[ni, Б, ri ]
Все приведенные выше зависимости, характеризующие безотказность машины (системы) и ее элементов на этапе испытаний, получены на базе статистического подхода к оценке надежности.
Однако на этапе испытаний имеется обширный массив данных, описывающих состояние и поведение элементов и системы, которые могут быть использованы для получения параметрической составляющей вероятности безотказной работы функциональных и параметрических элементов машины. Параметрическая составляющая строится на базе физико-статистического подхода и по ней можно проследить влияние на надеж­ность системы конструктивных, технологических, организационно-технических и др. факторов.
Так, например, на этапе испытаний могут определяться:

  1. физические параметры отдельных деталей и машины в целом: массы, координаты центров тяжести, моменты инерции масс, линейные размеры;
  2. кинематические параметры: перемещения, скорости, ускорения характерных точек различных звеньев;
  3. силовые факторы, характеризующие нагрузку деталей, сборочных единиц, механизмов и машины: силы, моменты, величины полезных нагрузок, инерционные сопротивления, вредные сопротивления, напряжения и деформации деталей;
  4. колебания деталей, отдельных сборочных единиц, механизмов или машины в целом, ее акустические характеристики;
  5. динамическая неуравновешенность вращающихся
    деталей;
  6. деградационные процессы эксплуатационного характера: износ, старение, усталость, коррозия и др.
    Расчет параметрической составляющей вероятностибезотказной работы на этапе испытаний проводится по зависимости
    (la), приведенной для этапа проектирования. При этом происходит уточнение этой составляющей.
    Практический пример использования зависимости (1a) будет рассмотрен для этапа изготовления

    Литература
  1. Волков Л.И., Шишкевич A.M. Надежность летательных аппаратов. М.: Высшая школа, 1975. 296 с.
  2. К. Капур, Л. Ламберсои. Надежность и проектирование систем. М.: Мир, 1980. 606 с.
  3. Градштейн Г.В., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Изд. 4. М.: Физматгиз, 1962. 250 с.
  4. Ллойд Д.К., Липов М. Надежность. Организация исследования, методы, математический аппарат. М.: Советское радио, 1964. 500 с.
  5. Орнатская В.А., Кивилис С.С. Проектирование и модернизация ткацких машин. М.: Легпромбытиздат, 1986. 296 с.
  6. Червоный А.А., Лукьященко В.И., Котин Л.В. Надежность сложных систем. М.: Машиностроение, 1972. 304 с.
  7. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. М.: Наука, 1965. 524 с.
  8. Пособие по методике определения и контроля надежности сложных систем / Под ред. А.А. Червоного. М., 1967. 116с.
  9. Синюков А.М., Волков Л.И., Львов Н.И., Шишкевич A.M. Баллистическая ракета на твердом топливе. М.: Воениздат, 1972. 511с.

В.Ф.Калашников, д-р техн.наук
Справочник, инженерный журнал №4/2004,с.20-25

Статьи партнеров