Задать вопрос:





Статьи

Статьи>> ТЕХНОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ И ХАОТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ, ДОПУСКАЮЩИХ ГРУППЫ СИММЕТРИИ

ТЕХНОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ И ХАОТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ, ДОПУСКАЮЩИХ ГРУППЫ СИММЕТРИИ

Приводится методика моделирования и идентификации сложных и хаотических процессов на основе методов нелинейной динамики и аппарата групп симметрии. Обсуждаются вопросы применения разработанного подхода к экономическим системам.

Введение. В экономических системах часто имеют место нелинейные хаотические явления: малые изменения начальных условий или какихлибо параметров приводят к резким изменениям динамического поведения наблюдаемых процессов; существует множество значений, к которым стремятся показатели процессов при различных условиях; структурные изменения, вызванные малыми сдвигами параметров, приводят к колебаниям.

Колебания, присущие экономическим данным, весьма различны и по амплитуде, и по области распространения, и по длительности. Для их объяснения выделяют две причины, определяющие две группы факторов. Вопервых, на экономическую систему воздействуют случайные внешние факторы, что приводит к смещению системы от состояния равновесия. Вовторых, осцилляции могут возникать как следствие сложных нелинейных взаимодействий внутри системы.

Основой нелинейнодинамического подхода является учет внутренних особенностей системы в отличие от статистических методов, в которых все факторы полагаются случайными или неопределенными. Исследования в области нелинейной динамики показывают, что если и возможно найти статистические закономерности управляющих воздействий на ход процессов, предсказать поведение системы с разумной достоверностью не представляется возможным. Существенным общим положением ряда экономических теорий являлось признание эндогенного характера экономических циклов, т.е. заведомая концентрация внимания на внутренней динамике систем. Важное место среди них занимает теория хаотических систем [1, 2].

В настоящей работе проблема формализации экономических систем сводится к задаче параметрической идентификации хаотических процессов моделями регулярной динамики. В качестве инструментов исследования используются методы теории симметрии и средства построения линеаризованных уравнений в пространстве состояний.

Метод пространства состояний получил распространение в системном анализе в середине прошлого века. Он заключается в описании системы с помощью совокупности преобразований "вход — переменные состояния", "переменные состояния — выход".

Использование описания процессов в пространстве состояний позволяет: учитывать и количественно оценивать степень влияния каждого из управляемых экономических процессов на изменение исследуемого параметра; адекватно описывать колебания, происходящие в системе, вызванные структурными особенностями протекающего процесса, т.е. описывать структурную сложность системы; определять свойство адаптивности, т.е. определять возможность системы к поглощению возмущений без резко выраженных последствий в динамике функционирования.

Постановка задачи и выбор модели. Рассмотрим модель в пространстве состояний с дискретным временем, т.е. предположим, что динамика системы локально может быть описана отображением F : Rn * Rr > Rn :

x(t+1)=F(x(t),u), (1)

где х(t) nмерный вектор состояния системы; u rмерный вектор параметров системы; t дискретное время.

Цель моделирования состоит в "выборе" такого отображения F, чтобы движение системы соответствовало периодической, возможно неустойчивой, траектории экономического процесса x(t). Линеаризуем уравнение (1) вдоль этой траектории

x(t+1)=A(t)x(t)+B(t)u(t), (2)

где A(t)=DxF(x(t),u) матрица Якоби, которая определяет свойства устойчивости системы по Ляпунову, B(t)=DuF(x(t),u) матрица, определяющая линейный отклик системы на возмущения.

Исследования показали, что динамически сложные системы допускают группы симметрии сдвига [3].

Симметрия систем определяется как линейное преобразование g.x—>x' = g(x) в пространстве состояний, при котором нелинейное уравнение динамики (1) сохраняет свою структуру. Более формально уравнение (1); здесь процесс обладает симметрией и описывается группой симметрии G, если отображение /"коммутирует по всем групповым операциям:

или, другими словами, группа G делает функцию F(x, и) инвариантной по первому аргументу. Группа G является однопараметрической

Для моделирования важно, что при линеаризации вблизи траектории x(t) структурная симметрия уравнения (1) не исчезает, но заменяется связанной симметрией. Определим L как полную группу симметрии линеаризованного уравнения (2) автономной системы (u(t) 0):

Таким образом, группа L описывает динамическую симметрию системы около программной траектории х и включает все преобразования g. Как правило, L совпадет с G. На практике невозможно определить независимо группу G, которая исчерпывает динамические симметрии системы. Однако легко показать, что множество ограничений при определении управляющих параметров может быть получено на основании произвольной подгруппы L'e L .

где pr число эквивалентных представлений Тr в декомпозиции (4); dr размерность Tr(r=1,q); q число инфинитезимальных образующих в базисе.

Реконструкция фазового портрета. Существующие методы моделирования хаотических систем по временным рядам ограничиваются только решением задачи реконструкции фазового портрета [3]. Основой для реконструкции фазового портрета служит единственный измеряемый скалярный выход. Этот выход y(t) является функцией неизвестного вектора внутренних состояний s(t) системы

y(t)=H(s(t)). (5)

Метод, позволяющий восстанавливать пространство состояний системы и ее динамику, был предложен Н. Паккардом и др. и состоит в последовательном измерении времени выхода y(f). Алгоритм основывается на реконструкции состояний системы со скалярного выходного сигнала с использованием временных задержек т12,....,тn

x(t)=[y(t+t')y(t+t')...y(t+t')].

Теорема Такенса вводится для достаточно общего случая систем без учета симметрии, однако она не применима для большинства систем, так как из наличия симметрии следует вырождение операторов эволюции. Другими словами, для таких систем теорема неприменима, т.е. пространство состояний системы не может быть восстановлено на основании единственного выходного процесса независимо от того, как велика размерность реконструкции п. Более того, фазовое пространство не может быть восстановлено ни локально около периодических траекторий аттрактора, ни вдоль определенных кривых в пространстве фазы, ни глобально. Используя язык теории управления, такие системы можно назвать локально и глобально ненаблюдаемыми

Ж. Кинг и И. Стеварт [4] провели обобщение теоремы о вложениях с требованием того, чтобы наблюдаемый выход был векторной, а не скалярной функцией состояния системы s(t):

y(t)=f(s(t))

Затем состояние системы может быть аналогично представлено координатным вектором задержки

x(t)=[y(t+t'1...y(t+t'ne)]T

Так как вид уравнений эволюции неизвестен, то ответ на вопрос о возможности построения функции ф получается на основании свойств симметрии системы, которые можно установить на базе основных преобразований — групп сдвига.

Автором получен следующий результат: если нет случайных вырождений и группа L' содержит, самое большее, одну копию каждого элемента декомпозиции (4), то для восстановления динамики около неизменяемого во времени состояния s необходимо, чтобы число т измеренных скалярных выходных сигналов yi(t) было равно числу параметров r.

Из этого следует, что при существовании симметрии сдвига динамика системы (1) может быть смоделирована системой (2), при этом размерность вектора параметров должна быть равна числу наблюдаемых процессов. Сами параметры могут быть порождены групповой операцией сдвига по времени и, следовательно, представляют собой линейные функции времени

Алгоритм идентификации. Метод идентификации экономических систем может быть сведен к известным, вычислительнонадежным методам параметрической идентификации, например разработанным и реализованным Л. Льюнгом [5].

Алгоритм решения задачи выглядит следующим образом: применение метода Такенса — Паккарда [1,3] для первых точек исходных процессов с произвольной размерностью; вычисление минимальной размерности вложений как базиса инвариантов групп симметрии; параметрическая идентификация с найденной размерностью и u = (u1,u2,...,um), где u = (at + в} (можно взять и = t); получение уравнений

x(t+1)=Ax(t) + Bu(t), y(t)=Cx(t); (6)

Данный алгоритм был проверен на большом количестве различных хаотических процессов. В настоящей работе рассмотрен процесс добычи нефти с 1996 по 2002 гг. по месяцам (рис. 1). Источник информации — Госкомстат России

Рис. 1. Исходные данные

Рис. 2. Сравнение результатов моделирования с реальными данными

В результате применения разработанного алгоритма размерность пространства состояний п составила 5, задержка — 12. Матрицы идентифицируемой системы (5):

Сравнение реальных данных по добыче нефти (сплошная линия) с динамическим поведением идентифицированной системы (штриховая линия) показано на рис. 2. Оценка адекватности модели составляет 72,5 %, т.е. ошибка прогнозирования — 27,4 %. Для проверки оценки построена автокорреляционная функция (рис. 3).

Рис. 3. Автокорреляционная функция

Заключение. В результате применения разработанного метода математического моделирования дискретных моделей сложных экономических систем, допускающих группы симметрии, на основании экспериментальных данных могут быть получены регулярные модели, имеющие адекватное исходному процессу поведение.

Список литературы

  1. Петере Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Пер с англ.. М.: Мир, 2000.
  2. King G.P., Steward I. Phase space reconstaiction for symmetric dynamical systems, Physica D: Nonlinear Phenomena. 1992. V.58.
  3. Ljung L. System identification Theory for the User. 2nd edition. Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J., 1999.
  4. Никульчев Е.В., Волович М.Е.Модели хаоса для процессов изменения курса акций. Exponenta Pro. Ма тематика в приложениях. 2003, № 1.
  5. Никульчев Е.В. Симметрии в динамических моде лях систем управления. Вестник Тамбовского университета. Сер.: Естественные и технические науки. Т.8,Вып.З. 2003.

Е.В. Никульчев
Справочник. Инженерный журнал. №11, 2004, с. 29-33

Статьи партнеров