Задать вопрос:





Статьи

Статьи>> Развитие учения о контактной жесткости

Развитие учения о контактной жесткости

В Тверском государственном техническом университете более 40 лет под руководством профессора Н.Б. Демкина (который так же, как и Э.В. Рыжов, является учеником профессора И.В. Крагельского) проводится изучение контактного взаимодействия деталей машин Исследования охватывают широкий круг проблем, развивается теория дискретного контакта, разрабатываются методы экспериментального исследования процессов, протекающих при контактировании и их компьютерного моделирования.
Большое внимание уделяется развитию механики контакта применительно к учению о контактной жесткости (проф. В.В. Измайлов, проф. И.И. Беркович, проф. А.А. Ланков, доцент В.М. Алексеев).
На протяжении многих лет ученые ТГТУ плодотворно сотрудничали с брянской научной школой, созданной профессором Э.В. Рыжовым, которая также занимается развитием учения о контактной жесткости и ее технологическим обеспечением.
Разрабатываемая в ТГТУ теория контакта реальных поверхностей позволяет рассчитывать контактную жесткость, маслоемкость, проводимость и другие свойства контактов деталей машин [1, 2].
В основе теории контакта лежит моделирование шероховатости и волнистости группой тел геометрически правильной формы, деформация которых описывается классическими решениями теории упругости и пластичности для изотропных материалов и макрообъемов.
Для расчета характеристик контакта необходимо решить следующие задачи:
1) выбрать модель единичного выступа и описать его деформацию;
2) описать топографию шероховатой поверхности набором выступов правильной формы;
3) определить значение среднего фактического давления для группы выступов, расположенной на элементе площади,
4) выразить прочие характеристики контакта через среднее фактическое давление.
Модель единичного выступа шероховатости В качестве модели единичного выступа используются клин, стержень, цилиндр, шаровой и эллипсоидальный сегменты Форму единичного выступа опишем функцией Ψ(e), характеризующей зависимость площади сечения выступа от относительной высоты сечения:

где δAi - площадь сечения i-го выступа на уровне ε, ε = z/Rp; δAmi - площадь сечения i-го выступа на уровне средней плоскости; z - величина сближения при контакте; Rp - максимальная высота выступов шероховатой поверхности над средней линией (расстояние от линии выступов до средней линии).

Для выступов в форме шарового (эллипсоидального) сегмента и клина где гпр и г„ - продольный и поперечный радиусы. Далее будем использовать шаровую модель выступов, для которой параметр формы у = 1. Тогда функция распределения площади сечения выступа по высоте запишется в виде = 1, для выступов цилиндрической формы у = 1/2, для выступов в форме стержня γ = 0.
Модель выступов в форме шаровых сегментов является наиболее удобной для расчетов, поскольку имеются решения контактных задач для сферических тел, в то же время не исключается возможность использования модели выступа в форме эллипсоидального сегмента для анизотропных поверхностей. В последнем случае в расчетах используется средний геометрический радиус, определяемый по формуле

где rпр и rп - продольный и поперечный радиусы.

Далее будем использовать шаровую модель выступов, для которой параметр формы γ = 1. Тогда функция распределения площади сечения выступа по высоте запишется в виде

Описание топографии поверхности
Для моделирования шероховатой поверхности набором шаровых сегментов будем характеризовать профиль шероховатой поверхности функцией tm(ε), равной отношению суммарной длины сечений выступов на уровне е к общей длине профиля. Очевидно, что функция tm(ε) выражает вероятность того, что материал находится выше некоторого уровня ε, поэтому можно записать:

где δAi, δLi - соответственно площадь и длина сечения i-го выступа на уровне ε; L - длина профиля; Ас - контурная площадь.

Таким образом, с помощью профилограммы поверхности можно оценивать ее топографию, описываемую функцией η(ε). Функция распределения материала по высоте шероховатого слоя η(ε) является важнейшей характеристикой микрогеометрии поверхностей. Она в значительной степени определяет деформационные свойства контакта.
Наиболее универсальной функцией для описания распределения материала по высоте z шероховатого слоя является бета-функция [3]:

где Г- символ гамма-функции; тип- параметры бета-функции. Бета-распределение достаточно гибко и удовлетворяет граничным условиям. При m = n = 4 оно приближается к нормальному.

При решении большинства технических задач рассматривается взаимодействие только наиболее высоких выступов, так как только они вступают в контакт, поэтому представляет наибольший интерес распределение материала выше средней плоскости. В этом случае для выражения функции распределения материала можно использовать частный случай бета-распределения при
m = v,n = 1 и ε = z/Rp:

где А(ε) - суммарная площадь сечения выступов на уровне ε; Аm - суммарная площадь сечения выступов на уровне средней плоскости.

Функция распределения вершин выступов по высоте находится из условия, что распределение материала будет соответствовать формуле (6). Для шаровой модели выступов функция распределения вершин будет иметь вид

где nr (ε) - число контактирующих выступов; пт - число выступов выше уровня средней плоскости.

Расчет среднего фактического контактного давления.
Среднее контактное давление при внедрении сферического выступа может быть представлено в виде

где εk = Y/Yk- отношение сближения Y к критическому значению сближения Yk ; Hm - предельная твердость по Майеру.

Критическое сближение выражается в виде [4]

где r - приведенный радиус кривизны выступов.

Коэффициенты G и ω зависят от характера деформации (табл. 1).

Таблица 1. Значения коэффициентов G и ω

Характер деформации

Диапазон значенийεk

Значения коэффициентов

G

ω

Упругая

0 < εk< 136

1

0,5

Упругопластическая

0,136 < εk< 24

0,55

0,2

Пластическая

εk > 24

1

0

Очевидно, что нагрузка на единичный выступ равна Ni=priδAi. Полная нагрузка, воспринимаемая шероховатой поверхностью, будет равна сумме нагрузок, воспринимаемых всеми контактирующими выступами:

где согласно формуле (7) dnr = nmφ(ε)dε.

Подставляя значения Ni и dnr и производя преобразования, получим общую формулу для среднего фактического контактного давления:

где рс - контурное давление; Н -
коэффициент, характеризующий упругую осадку выступов.

Подставляя в формулу (10) значения коэффициентов G и ω, получим среднее фактическое давление для различных механизмов деформации контакта:
для упругого контакта

для упругопластического контакта

для пластического контакта

т.е. при пластическом контатке среднее фактическое давление будет равно максимальной твёрдости по Майеру.
Расчёт характеристик контакта.
Располагая величиной фактического давления pr, легко выразить другие характеристики крнтакта. Фактическая площадь будет равна Ar=N/pr, сближение шероховатых поверхнстей , число пятен фактического контакта , средняя площадь пятна контакта ΔAr=Ar/nr, межконтактного пространства

где α - коэффициент, учитывающий долю упругой деформации, 0 ≤ α ≤ 0,5.

В общем случае различные выступы, находящиеся в контакте, будут деформироваться по-разному. При контактировании шероховатой поверхности общая нагрузка Сбудет складываться из нагрузки, воспринимаемой упруго деформируемыми выступами - Ny, упругопластически - Nyп, и пластически - Nп т.е. N = Ny + Nyп + Nп. В этом случае расчет характеристик контакта возможен только численными методами при помощи специально разработанных компьютерных моделей. В настоящее время создан ряд компьютерных моделей для определения основных характеристик контакта: деформации и жесткости контакта, фактической и контурной площади контакта, средней площади пятен контакта, среднего расстояния между пятнами контакта, фактического и контурного давления и объема зазора между контактирующими поверхностями [5,6].
Контакт неплоских шероховатых поверхностей Известно, что контактирующие детали часто имеют неплоскую - сферическую или цилиндрическую - форму. Поэтому в расчетах характеристик контакта, в том числе при расчете контактной жесткости, необходимо учитывать форму контактирующих деталей. Влияние формы контактирующих деталей проявляется в величине контурного давления pc, которое больше номинального, так как контурная площадь контакта составляет часть номинальной.
Контакт сферических шероховатых поверхностей.
В основу расчета положена гипотеза о трансформации эпюры контактного давления при нагружении контакта шероховатая сфера - гладкая плоскость. Распределение давления на контурной площадке контакта при внедрении жесткой гладкой сферы в шероховатый слой можно описать функцией, аналогичной герцевскому распределению давления [7]:

где рm = N(1 + β)πа2 ; β - переменный показатель эпюры давления, 0,5 ≤ β ≤ (v + ω); а - максимальное значение радиуса r.

На основании решения СП. Тимошенко [8] для определения деформации (сближения сферы и плоскости) Л имеем интегральное уравнение [7]:

где Ω - площадь круговой площадки контакта; S -текущая координата. Численное решение данного уравнения и аппроксимация соответствующих зависимостей дают следующие результаты [7].

Сближение Δ шероховатой сферы и плоскости (деформация контакта) выражается формулой

где ΔГ - сближение (деформация) абсолютно гладких упругих сферы и плоскости по Герцу:

Ф - комплекс, зависящий от параметров шероховатости и нагрузки:

В формулах (17,18) R - радиус сферической поверхности, Е* - эквивалентный модуль Юнга, 1/E* = (1-μ21)/E1(1-μ22)/E1
Для практических расчетов величину Ф можно оценивать по формуле

где значения коэффициента Кш1 находятся по приближенной формуле

где Н - микротвердость по ГОСТ 9450-76.

Контакт цилиндрических шероховатых поверхностей.
Полученные результаты для сферических тел могут быть обобщены для тел эллипсоидальной формы. Однако от этих результатов, как в теории Герца, нельзя перейти к контакту цилиндрических тел, приняв одну из полуосей эллипсоида равной бесконечности. Причина в том, что в случае сжатия тел двоякой кривизны деформация быстро затухает по глубине, так что 97 % деформации приходится на глубину, равную 10 диаметрам площадки контакта. Для цилиндрических тел деформация не затухает так быстро.
При рассмотрении деформации шероховатых тел цилиндрической формы использованы результаты работы А.Н. Динника [9]. Рассмотрим деформацию цилиндра единичной длины, который сжимается двумя противоположными силами Р = N/L, где Р - линейная нагрузка; N- нагрузка на цилиндр; L - длина контакта.
Примем, как и в предыдущем случае, эпюру давления в виде


β - переменный показатель эпюры давления, 0,5 ≤ β ≤ (v + ω); b - полуширина площадки контакта; у - текущая координата.

Численное решение полученных интегральных уравнений и аппроксимация полученных результатов дают следующую достаточно простую формулу для деформации шероховатого цилиндра [7]:

где λ = 1 - (β - 0,5)2/6; Λ = (3/4)(1 + 10Ψ)0,8; bг - ширина полоски контакта гладкого цилиндра, bг = (4/π)(Рr/E)1/2; R - радиус цилиндра; Ψ - комплекс, включающий физико-механические и микрогеометрические характеристики контакта и зависящий от нагрузки Р.

Для практических расчетов величину Ψ можно оценивать по формуле

где значения коэффициента Кш2 в свою очередь можно рассчитать по формуле

Литература

1. Демкин Н.Б. Контактирование шероховатых поверхностей. М.: Наука, 1970. 228 с.
2. Демкин Н.Б., Рыжов Э.В. Качество поверхности и контакт деталей машин. М.: Машиностроение, 1981. 244 с.
3. Измайлов В.В., Курова М.С. Применение бета-распределения для расчета характеристик контакта шероховатых тел // Трение и износ, 1983. Т. 4, № 6. С. 983-990.
4. Нетягов П.Д., Измайлов В.В. Упруго-пластический контакт единичной неровности // Известия вузов. Машиностроение, 1974. С. 16-20.
5. Демкин Н.Б. Теория контакта реальных поверхностей и трибология //Трение и износ, 1995. т. 16, № 6. С. 1003-1024.
6. Демкин Н.Б. Многоуровневые модели фрикционного контакта// Трение и износ, 2000. т. 21, № 2. С. 115-121.
7. Demkin N.B., Izmailov V.V., Korotkov M.A. Estimation of the deformation of rough spheres and cylinders in compression // Wear, 1976. v. 39, №1. P. 63-82.
8. Тимошенко СП., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 576 с.
9. Динник А.Н. Избранные труды. Киев: Изд. АН УССР, 1952. Т. 1. С. 15-114.

Н.Б. ДЕМКИН, В.В. ИЗМАЙЛОВ
(ТГТУ)

Справочник, инженерный журнал (приложение)
№9, 2003г. с. 7-10

Статьи партнеров